Distance entre deux droites

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

On considère la droite $D$  passant par le point  $\text{A}$ de coordonnées $(-4;3;1)$  et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ .
On considère la droite $D^{\prime }$  dont une représentation paramétrique est : $\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=-2+t& ,t\in \mathbb{R}\\ z=t\end{array}$

On admet qu’il existe une unique droite  $\mathrm{\Delta }$ perpendiculaire aux droites  $D$ et $D{}^{\prime }$ . On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite  $\mathrm{\Delta }$ et de calculer la distance entre les droites   $D$  et $D{}^{\prime }$ , distance qui sera définie à la question 5.

On note  $\text{H}$ le point d’intersection des droites  $D$ et  $\mathrm{\Delta }$ ,  ${\text{H}}^{\prime }$ le point d’intersection des droites  $D^{\prime }$ et $\mathrm{\Delta }$ . On appelle  $P$ le plan contenant la droite  $D$ et la droite  $\mathrm{\Delta }$ . On admet que le plan  $P$ et la droite  $D{}^{\prime }$ sont sécants en $H^{\prime }$ . Une figure est donnée ci-dessous.

1. On considère le vecteur $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ . Démontrer que $\overrightarrow{w}$  est un vecteur directeur de la droite  $\mathrm{\Delta }$ .
2. Soit $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ .
    a. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$  est normal au plan $P$ .
    b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est $2x+3y+3z-4=0$ .

3. a. Démontrer que  ${\text{H}}^{\prime }$ a pour coordonnées $(2;-1;1)$ .
    b. En déduire une représentation paramétrique de la droite  $\mathrm{\Delta }$ .

4. a. Déterminer les coordonnées de $\text{H}$ .
    b. Calculer la longueur   $\text{HH'}$ .

5. L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point  $\text{M}$ appartenant à  $D$ et tout point  ${\text{M}}^{\prime }$ appartenant à $D^{\prime }$ , $\text{MM'}⩾\text{HH'}$ .
    a. Montrer que $\overrightarrow{\text{MM'}}$  peut s'écrire comme la somme de $\overrightarrow{\text{HH'}}$  et d'un vecteur $\overrightarrow{v}$ , orthogonal à $\overrightarrow{\text{HH'}}$ .
    b. En déduire que  ${\Vert \overrightarrow{\text{MM'}}\Vert }^2⩾{\Vert \overrightarrow{\text{HH'}}\Vert }^2$ et conclure.

$\text{HH'}$  est appelée distance entre les droites  $D$ et $D^{\prime }$ .